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相加相乗平均で等号条件を示す理由は? 

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あまりにも簡単すぎて瞬殺した・・・つもりでした。
今までのMVAでこの問題がいちばん簡単だったのは間違いない。
しかし等号条件を示すのを忘れ、死亡。

微分とか使って最大・最小を求めたときって別に等号条件示す必要ないだろ?だけど相加相乗平均で等号条件を示さなければならない理由ってぶっちゃけ何なの?ルールになっているのは知っているが本質的なところがわからん。





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まじやりたくなってきました。

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コメント

通りすがりです。

「このクラスは全員60点以上だった」と「このクラスの最低点は60点だ」が同値ではないのと同じことです。

(a+4/b)*(b+9/a)の最小値を求めるのに

a+4/b≧2√(a*4/b)=4√(a/b), b+9/a≧2√(b*9/a)=6√(b/a)の辺々をかけ合わせて,

(a+4/b)*(b+9/a)≧24
よって最小値は24(?)。

というのはおかしいですよね。

Re: タイトルなし

> 「このクラスは全員60点以上だった」と「このクラスの最低点は60点だ」
> が同値ではないのと同じことです。

ありがとう。でもわかんねー。
もう少し教えて。

これが同値でないのはわかる。
相加相乗平均では、最低点60点をとったヤツがいるってことを言っているってことだろ。だけどそれは、微分で最小値を求めた時だって同じじゃないの?微分で最小値が60点だったら絶対60点のヤツが存在するだろ。だけどわざわざ最低点60点をとったヤツがいることを示したりしないじゃん。

sinx + cosx ≦ 2
は絶対に成立するだろ。
じゃあ、最大値は2ですか?
違うだろ、2なんてありえないよ。

(おさえることその1)
最大値の定義
定義域D上の関数f(x)が最大値Mをもつとは、次の2つが成り立つことである。
1) Dに含まれる「すべてのx」についてf(x)≦M
2) Dに含まれる「あるx」についてf(x)=M
つまり、1)かつ2)が言えて初めて最大値Mだと言える。

(おさえることその2)
「1<2」は絶対正しいよな。
じゃあ「1≦2」は? 正しいよ。
相加相乗やコーシーシュワルツのような絶対不等式と言われる不等式は上の「1≦2」のような単なる大小関係を表す不等式であって値域を表す不等号ではない。イコールにも不等式と恒等式があるように、不等式にも種類がある!

よって(その1)(その2)より、等号が成立することを言わないとそれは最大値であるとは言えない。

なお、以上からわかるように、不等号が成立することを「示せ」と言う問題ならば、等号成立をいう必要はない。

1≦2は正しい。でも等号成立はありえない。
sinx + cosx≦2は正しい。でも等号成立はありえない。

相加相乗平均やコーシーシュワルツのような絶対不等式の不等号は上の例のような単なる大小関係を表す不等号であり、値域を表す不等号ではない。
イコールに方程式と恒等式があるように、不等号にも種類がある。

当たり前だが、最大値の定義を知らないと話にならない。
定義域D上の関数f(x)が最大値Mをもつとは、
1) D内の「すべてのx」でf(x)≦M
2) D内の「あるx」でf(x)=M
の二つを満たすことである。
なので、最大値を求める問題では、上の二つを答案内で主張しなければならない。微分して最大値を求めるときもこの二つを満たしているでしょ。

以上より、相加相乗平均を使って最大値を求めるときには等号成立をいわなければならない。
なお、「不等式が成立することを証明せよ」という問題なら、等号成立を示す必要はない。

Re: タイトルなし

うーん、ありがとう。
なんかわかった気がする。難しいな。

相加相乗平均の関係を使って、今回は√2以上なので最小値は√2だぜ!としてしまったのですが、等号が成り立たないケースてあり得るの??? 俺って絶対に等号が成り立つケースがあるのかと思ってた・・・。

なんか等号が成り立たない例があれば教えてちょ!

一回目に投稿したはずなのがコメント欄に出てこなかったので同じようなの投稿してしまった、ごめん。投稿してからコメント欄に載るまで時間がかかるのかな?俺のパソコンがおかしいのかも。

ところで、等号が成立しない例。
問題. f(x)= x + 1/(x^2) (ただしx>0)
(右辺は、x + x2乗分の1)
の最小値を求めよ。

誤答例.
x + 1/(x^2) = 2x/3 + x/3 + 1/(x^2)
ここで、2x/3>0, x/3>0, 1/(x^2)>0なので、相加平均・相乗平均の関係より
2x/3 + x/3 + 1/(x^2)≧3{(2/9)^(1/3)}
(右辺は、3かける(2/9)の立方根)
よって、最小値は3{(2/9)^(1/3)}

なぜ誤答かというと、これがまさに等号が成立しない例となっている。
等号成立は「2x/3 = x/3 = 1/(x^2)」を満たすときのxなのだが、これを満たすxは存在しない。だから、3{(2/9)^(1/3)}という値はありえない。

なお、この問題は、
x + 1/(x^2) = x/2 + x/2 + 1/(x^2)
と分解してやると上手くいく。
なぜなら「x/2 = 1/(x^2)」を満たすxは存在する(x = 2の立方根)から。

噛み砕けば・・・

ある高校の3年1組の生徒は全員10歳以上。
(これはまったく正しい)
だけど、10歳の人はいませんね。
(妥当に最小値17歳じゃない?)

つまり、年齢≧10 は何も間違っていないが、
実際に10歳の人はいないでしょうということです。

つまり、等号が成り立つかどうかを調べない限り、それが最小値・最大値とは言い切れません。

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