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高校生は数学を美しく解く必要なんかない! 

takuさんという方から以下のようなコメントをもらった。ありがとう。4日くらい前の日記でかな。その中で、昨年のハイレベル数学の問題を1問紹介いただいた。

> 例えば,今年度の最初の問題は,
>
> 3数2008,208,28をある正の整数nで割ったところ,
> その余りが全て同じ数になる。
> このような正の整数nは何通りあるか。
>
> でした。初っ端から整数問題でしたが,このセットでは,
> 1番簡単だったかもしれません。
> (答は18通りです。)





俺は、答えは「18通り」って書かれていたこともあったけど、具体的にnを求めた。

> n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
> でしょ?
>
> さすがに簡単でした。瞬殺しました。





それに対し、takuさんから以下のコメントを個別メッセージでもらった。

> こんばんは.さて,貴方の答案を拝見させていただきました.
> 何通りか?と言う問題に対して,全てを書き出すのは
> (悪いとはいわないが)良い解法ではありません.
> 例えば,この数が100倍になっていたりしたら,
> 量がもっと多くなるわけですから.
> この問題はZ会的には剰余に注目して解いて欲しかったのでしょ
> う.模範解答のほうもそうなっていましたし,
> そうするのが定石な気もします.





いい機会なので、俺の「高校数学の接し方」についてこの場で意見を述べておく。決してtakuさんへの批判や反論ではないので、気を悪くしないでほしい。




---
俺は勉強も運動も好きな方だが、「数学」だけは例外で大嫌いだ。
この理不尽な学問は、大学受験に課せられているという理由のみで、やむなくやっている。無事進学し、教養課程も終わったら、二度とこんな学問には接するまいと思っている。よって、現在の俺は高校数学は以下のように割り切っているということを書く。




「良い解法ではない」
という指摘だが、俺に言わせれば、
「高校数学で良い解法などする必要がない」
だ。

高校数学は「大学受験の数学で点を採るため」にやっている。
それ以外に理由なんかない。
文系の人とかで、数学をやらなくなったりする人がいるのは、受験に関係ないから以外に理由はない。自分が将来生きていく上で、高校数学が必要だからやっているというわけでは決してない。

いい?
「大学受験の数学で点を採るため」
にやっているのだから、「良い解法」「美しい解法」などする必要は全くない。
「悪い解法」「汚い解法」でも正解にたどりつき、点をもぎとりさえすればいいんですよ。
求めるのは「良い解法」なんかじゃない。
「確実に点をもらえる解法」だ。
「良い解法」「美しい解法」が点をもらえやすい手法なんかでは決してないんだ。
まして特別ボーナス点がもらえるわけでもなんでもない。

確実に点をもらうためには、自分が確実と思う手法、手順で事を進めるのがいちばんだ。ただし受験数学には「制限時間」という壁が存在するので、長時間を要するような方法は、例え確実であっても避けるしかないかもしれない。




takuさんが示した問題は「何通りか」をだけ求められているので、具体的なパターンを全て書き出す必要などないということだが、俺に言わせればこの問題に限っていうと「何通りか」を求めるのに全部パターンを書き上げてしまった方が早い。しかも確実。
俺は、該当するnの値を全て挙げるのに3分かかっていない。数学が得意な人なら1分もかからないはず。
60分かかるなら書き出すのは考え直すが、高々3分だ。書き出すのが俺には最速かつ確実だ。

中学校の確率・統計の分野の問題で、
「サイコロを2つ振ったとき、●●となるのは何通り?」
みたいな問題がある。
こんなのは俺が解くなら36パターン全チェックだ。36秒で完成だ。
解法に云々言われる筋合いなんてなく、総当りが最速かつ確実だ。

高校の確率・統計の分野では、
「サイコロを3つ振ったとき、●●となるのは何通り?」
と、サイコロが1個増える。
これでさえ216パターンをチェックだけで終わりだ。3分36秒しかかからない。
やはり総当りが最速かつ確実だ。

高校数学では、答えが「何万通り」とかになるものもある。
こういう場合、総当りではとても時間内にできないと思うかもしれないが、それは違う。
100パターンくらいやってみるべき。そうすりゃ傾向が見えてくる。
もう100パターンやりゃあ、100×100=1万パターンくらいのチェックが完了する。
実際の試験でこのぐらいのチェックはできるし、余白も解答スペースもある。

何が言いたいかというと、「良い解法」「美しい解法」なんか求めて考え込むくらいだったら、こうすりゃいつかは確実に答えが出る、点がもらえるっていう泥臭い手法を選ぶべきだ。
そしてすぐ実行。
「美しい解法」なんていらない。
「汚い解法」だって満点は満点だ。




俺の同級生に、
「2次方程式は必ず解の公式を使って解く」
というヤツがいる。非常に合理的だと思う。
「良い解法」「美しい解法」を主張するヤツは、えてしてまずは「因数分解による解法」を求めるんだろう。
しかし、中・高生よ気づけ。
俺たちの頭で因数分解ができるケースというのは、
「出題者がヌルい係数設定をしているから」
だ。俺たちの才能やひらめきで分解できているわけでは決してない。「良い解法ができた!」なんて勘違いするなよ。
そういった意味では、全てにおいて「解の公式を使って解く」というスタンスは、どんな係数設定であっても確実に解くという、非常に有用かつ確実な選択肢と思う。
この手法を否定される筋合いはない。

なんども繰り返すが、「美しい解法」など高校数学、受験数学には意味がない。
高校数学、受験数学なんて「急がばまわれ」なんだよ。




学校では習わないと思うが、
「四色定理(四色問題)」
というのがある。いかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗るには4色あれば十分だという超有名な定理だ。数学が嫌いな俺でも聞いたことがある。

この問題が証明され定理となったのは1970年代だそうだ。それまで誰も証明できない未解決問題だったらしい。
地図の領域なんて、そのパターンは無限に考えることができるから、その配色の仕方はさらにそれを超越するくらいの無限だ。無限である以上、全てを書き出してチェックするという手法がとれない。

ところが、この無限のパターンはある傾向にそって有限(それでも云万パターンらしい)のパターンに整理できることが数学者によって示されたそうだ。よって、有限なのだからあとは全てのパターンをチェックしまくればよかった。人力では膨大な時間を要するため、コンピュータが用いられた。

四色問題が正しいと証明されたことはとても画期的なことだったんだそうだ。けれどこの解法は、とても「美しい解法」ではなかった。2009年現在「美しい解法」はまだ登場していない。




数学で「良い解法」「美しい解法」を受験生に求めるなんて本末転倒だと思う。そんなのは数学で飯を食っている一部の数学者に対してするリクエストだ。「良い解法」「美しい解法」を受験で求めるなら、それに対する見返りを点数でよこせ。
俺はZ会の添削や実際の受験では、遠回りをしてでも正答にたどりつき、点を獲得することだけにこだわりたい。「良い解法」「美しい解法」なんて目指さないし、目指したこともない。点を採るという目的に全くそぐわない無駄な行為だ。




いいネタありがとうございました。受験数学なんて、
「真剣になったヤツが負け」
だよ。もっとナメて行こう。

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コメント

こんにちは

頑張って下さい!!
応援、ポチ、ポチ。
また来ますね!!!
  • [2009/02/18 11:07]
  • URL |
  • 元塾講師中里によるアフィリで楽しく毎日が給料日
  • [ 編集 ]
  • TOP ▲

くすくす 面白い考え方ですね。
受験数学ってある程度以上になると、
手計算ではどうにもできないものが
多々でてきます。
文理系でも、どんちゃかありますよ。
そういう問題を解き始めて
いきなり解法を読んでも
それを真似することはできても応用が利かない
ことが多いんですよね。
だから、普段から、手計算だけでなく
視点を変えて考える方法を
身につけておく必要があるんだと思いますよ。
美しい解法ってのは、その辺につながるんだと思います。

とはいえ、計算力が強いのも
とっても頼もしい事ですね。

両方あれば鬼に金棒なんですが(笑)
頑張ってくださいね。
  • [2009/03/06 10:55]
  • URL |
  • 通りすがりです
  • [ 編集 ]
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