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数学の得意な方、教えてください 

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(1)なんですが、Z会の解法はわかったのですが、自分の解法だとどの辺ががダメなのか、どうしてもわかりません。
もし、数学の得意な方がいらっしゃいましたら、ご教授いただけないでしょうか。
どうぞよろしくお願い致します。

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コメント

前半ですが、赤字のように初めから自然数とするより、
あなたのようにする方が正確でよいと思います。
後半は、言いたいことがうまく表現されていないです。

次の問題を考えて下さい。
「n を 3 以上の自然数とするとき、√(n^2-5) は有理数になりうるか」

あなたの方法でやれば、
「n^2 から 5 を引いたものは平方数にならない」
となってしまいます。
しかし、3^2 - 5 = 4 は平方数です。
どこがおかしいのか考えてみるとよいです。

>あなたの方法でやれば、
>「n^2 から 5 を引いたものは平方数にならない」
>となってしまいます。

わからないです。自分の方法では、
「n^2 から 5ではなく4 を引いたものは平方数にならない」
となるとまだ思っています。(nは3以上で)

では、間違い探しです。
どこがおかしいですか?

a(n) = n^2 とおくと
a(n+1) - a(n) = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
n が 3 以上の自然数のとき
a(n+1) - a(n) は 7 以上であるため
n^2 から 5 を引いたものは
平方数にならない。

すいません。わかりません・・・。
あってるように見えます。

あなたの考えが不明なので、説明しにくいのですが…

(n+1)^2 - n^2 ≧ 7 ⇔ (n+1)^2 ≧ n^2 + 7 ですから、
(n+1)^2 > n^2 + 5 がわかります。

これより、「n^2 に 5 を加えたものは平方数にならない」とは
いえますが、「n^2 から 5 を引いたものは平方数にならない」とは
言えません。ここで何か錯覚をしているように思います。

あなたの答案も、「n^2 に 4 を加えたものは平方数にならない」とは
言えますが、「4 を引いたもの」については、証明できていません。

==============================================================

さて、どう修正すればいいかです。

一般に、m を自然数とすると、
(m+1)^2 - m^2 = 2m + 1 は、3、5、7、9、…という値をとり得ます。
[注意!] ここの m は 3 以上ではありません。1 以上です。

平方数になったと仮定して、n^2 - 4 = x^2 としましょう。

ここで、x^2 から n^2 までを順に並べたとします。
たとえば、x = 2、n = 5 なら、「4、9、16、25」 と並べるわけです。

そうすると、その間隔は、3、5、7、9、… のどこかを切り取ったもの
になります。x = 2、n = 5 の例なら「5、7、9」です。

そして、x^2 と n^2 の間隔は、この切り取った列の和です。
上の例なら、5^2 - 2^2 = 5 + 7 + 9 ということです。

しかし、どのように選ぼうと、その和が 4 になることはあり得ません。
(でも、5 にはなり得ますね)。

よって、x^2 と n^2 の間隔が 4 になることはないのです(でも、5 にはなり得ます)。

誤解が生じないように丁寧すぎるくらいに説明しましたが、この流れで解答すれば、
正しいです。

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